Introdução

Neste artigo, tratamos das diferentes formas de provas geométricas que podem ser apropriadas em vários estágios do desenvolvimento cognitivo dos alunos, dependendo das diferentes representações do conhecimento que podem estar disponíveis.

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Pensamos que, em oposição ao recurso da memorização para posterior aplicação em exercícios, um trabalho de convencimento sobre a verdade de fatos matemáticos, baseado sobre interações com o ambiente e comunicação pode fornecer um fundamento tal que as representações visuais possam tornar significativos tais resultados, favorecendo o crescimento matemático dos alunos

Por outro lado, fazemos a observação de que um trabalho de convencimento da verdade de fatos matemáticos em sala de aula de Matemática, conforme destacamos nos exemplos a seguir, é importante. Porém, posteriormente, a prática de exercícios “mecânicos” ou “repetitivos” em variados níveis de dificuldades necessita ser promovida a fim de sistematização dos resultados e temas trabalhados.

Provas matemáticas em sala de aula

O conceito de “prova” é considerado fundamental em Matemática, pois através da exibição das mesmas que se dá a comunicação de resultados matemáticos aos interessados (matemáticos, professores, alunos, etc). Além disso, é por meio da explicitação de provas que o matemático profissional garante que o argumento utilizado está correto do ponto de vista da Lógica.

No entanto, tendo em vista o contexto explicitado anteriormente, apesar de o matemático profissional, ao exibir provas ou demonstrações, fazer uso de axiomas, definições, conceitos, etc, além do método dedutivo para expor seus argumentos, no contexto do ensino de Matemática em sala de aula não há a necessidade de o professor compartilhar o rigor matemático exigido em âmbito acadêmico.

No ensino de Matemática na Educação Básica, provas necessitam ser trabalhadas sob o ponto de vista da exposição de um argumento que convence os alunos de que um fato matemático é verdadeiro.

Por exemplo, em Geometria, podem ser trabalhados fatos matemáticos isoladamente, com o objetivo de verificar que:

  • Triângulos Equiláteros possuem três ângulos internos de mesma medida; Triângulos Isósceles possuem dois ângulos internos de mesma medida; e o Triângulos Escalenos possui os três ângulos com medidas distintas entre si.

Tais situações podem ser observadas pelos alunos utilizando dobraduras. Nesse caso, o professor pode entregar triângulos de vários tipos aos alunos e pedir que os mesmos dobrem o papel de modo a tentar sobrepor lados e ângulos.

  • A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.

A verificação desse fato também pode ser trabalhada em sala de aula utilizando dobraduras ou destacando os ângulos de modo a compor a totalidade de 180º. Nesse caso, também, se o professor deseja promover um trabalho de investigação em relação ao tema, aconselhamos a utilização de triângulos com vários formatos a fim de obter a maior generalidade possível no resultado.

  • Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Novamente, tal afirmação pode ser verificada por meio da proposta de atividades concretas como mostramos a seguir.

Triângulos Equiláteros, Isósceles e Escaleno

Um triângulo é um polígono de três lados. Conforme o número de lados de mesma medida, podem ser classificados em Equiláteros, Isósceles e Escaleno.

     O triângulo Equilátero é aquele que possui os três lados de mesma medida.

     O triângulo Isósceles é aquele que possui somente dois lados de mesma medida.

     O triângulo Escaleno é aquele que possui todos os lados com medidas distintas (diferentes) entre si.

A verificação sobre qual tipo de triângulo estamos tratando pode ser feita por medição direta (com auxílio de régua por exemplo) ou sobrepondo os lados do polígono por meio de uma dobradura. Nesse último caso, se os respectivos extremos dos segmentos que determinam os lados, tomados dois a dois, coincidirem, então possuem o mesmo comprimento. Caso contrário, apresentam medidas diferentes entre si.

Além de poder fazer essa classificação, estamos interessados na relação existente desta com o número de ângulos internos também de mesma medida que possuem os triângulos. Tal fato é uma consequência direta dessa classificação dos triângulos. Ou seja:

  1. Se o triângulo possui os três lados de mesma medida (Equilátero), então possui os três ângulos internos de mesma medida.
  2. Se o triângulo possui somente dois lados de mesma medida (Isósceles), então possui dois ângulos internos de mesma medida.
  3. Se o triângulo possui os três lados com medidas distintas tomados dois a dois, então seus três ângulos internos possuem medidas distintas, também tomados dois a dois.

Provas utilizando dobraduras

As comprovações desses fatos podem ser feitas visualmente, efetuando ações sobre os objetos para demonstrar a verdade da relação encontrada. Em nosso caso, existe a necessidade de movimento físico para mostrar a requerida relação. Por exemplo, para mostrar que um triângulo de lados iguais possui ângulos de mesma medida, deve-se dobrar o papel sob seu eixo de simetria, na tentativa de sobrepor os ângulos, conforme figura a seguir.

Sobreposição de lados e ângulos de um triângulo

Aqui, dobrando-se o triângulo na linha tracejada, fazemos coincidir lado os AB e AC, bem como ângulos B e C. Situação que não ocorre com o triângulo a seguir:

Situação em que lados e ângulos de um triângulo não se sobrepõem

Dobrando-se o triângulo à esquerda em torno da linha pontilhada, de modo a fazer coincidir os vértices B e C, obtemos a configuração à direita. No entanto, observe que nessa configuração formada, fazer coincidir os vértices B e C, não o fez coincidir também os respectivos lados, demonstrando que os ângulos são de medidas diferentes, com o ângulo B maior que o ângulo C.

            Dessa forma que um trabalho com dobraduras em sala de aula de Matemática, torna-se bastante promissor no sentido de mostrar a respectiva relação existente nos triângulos.

A prova geométrica de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º

Apesar de sua compreensão imediata e fácil utilização pelos alunos, esse é um resultado geométrico que demanda algum esforço no sentido do entendimento e construção de sua prova. No entanto, usando também dobraduras podemos, em sala de aula, promover o convencimento dos alunos de que o resultado é verdadeiro para qualquer triângulo. O objetivo é oferecer ao educando o entendimento do resultado ao invés da simples memorização para posterior aplicação.

1ª Prova

Tomando um triângulo qualquer, basta dobrá-lo fazendo os vértices A, B e C coincidirem com o ponto H (pé do segmento que definimos como altura), conforme figura a seguir.  Esperamos, com isso, que os alunos percebam que os ângulos a, b e c “juntos”, compõem a totalidade a + b + c = 180º.

Prova de que a soma dos ângulos internos é 180º

2ª Prova

A partir de um triângulo desenhado em uma folha de papel, pode-se solicitar que os alunos façam recortes que possibilitem colocar os três ângulos de forma adjacente com seus vértices (idealmente) no “mesmo” ponto, de maneira que componham um ângulo raso.

Composição dos ângulos de um triângulo formando o ângulo raso

Ou recortando os ângulos de um triângulo e justapondo-os conforme a figura a seguir:

Outra composição dos ângulos do triângulo formando a totalidade 180º

A prova geométrica do Teorema de Pitágoras

1ª Prova

Na famosa prova indiana clássica do teorema de Pitágoras, são tomados 4 triângulos de lados a, b, c em que a e b são catetos e c a hipotenusa de um triângulo retângulo, em dois lugares no quadrado de lado a + b, conforme quadrado à esquerda.

O objetivo é achar uma relação entre as medidas a, b e c do triângulo retângulo. Ou seja, buscamos provar que   a2 + b2 = c2.

Prova geométrica do Teorema de Pitágoras

Para compreender essa prova, é essencial observar como os triângulos podem ser movimentados de uma configuração (quadrado à esquerda) a outra (quadrado à direita). além de observar que os dois quadrados possuem lado de tamanho a + b e, portanto, mesma área.  

Assim, observe que os respectivos triângulos (em cores) destacados no primeiro quadrado podem ser movimentados de modo a comporem o quadrado à direita. Dessa forma, a área na cor branca do quadrado de lado c, pode ser expressa como dois quadrados de área a2 e b2, fornecendo a igualdade.

a2 + b2 = c2

2ª Prova

            Vamos utilizar o argumento numérico para convencer os alunos sobre a veracidade do Teorema de Pitágoras. O momento também pode ser útil para fazê-los compreender o significado do Teorema a partir do cálculo de áreas.

            A proposta é de que os alunos tomem sobre a hipotenusa a, e os catetos b e c, as medidas 5, 4 e 3, respectivamente. A seguir, peça aos mesmos que, com o auxílio de esquadro e régua, construam quadrados com as respectivas medidas dos lados. Na sequência da atividade, peça aos alunos que ladrilhe os quadrados maiores com outros de medida de lado 1, conforme figura a seguir.

Prova numérica do Teorema de Pitágoras

Dado isso, eles poderão observar que no quadrado maior existem 25 quadrados e nos outros dois, 16 e 9.  Sendo assim, o professor pode chamar a atenção dos alunos para o fato de que a soma dessas quantidades menores (9+16) é igual a quantidade de quadrados que preenchem o espaço do maior (25).

            A partir desse ponto, os alunos podem ser convidados a verificar essa igualdade com outras triplas de números correspondentes às medidas dos lados de outros triângulos retângulos.

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